CLASE 2 · Elegir la herramienta

Ley de senos y ley de cosenos: mira primero los datos

En cualquier triángulo plano no degenerado, sus ángulos interiores suman 180°. Llamaremos A, B y C a los ángulos, y a, b y c a los lados opuestos, respectivamente. El lado a queda frente a A, no necesariamente junto a la letra A del dibujo. Esta correspondencia es más importante que la orientación de la figura.

Las dos leyes funcionan también en triángulos rectángulos, aunque en ellos pueden bastar Pitágoras y las razones básicas. Para escoger una ley, escribe los datos en una lista. Tener «dos lados y un ángulo» no basta para elegir sin comprobar dónde está ese ángulo.

1. Ley de senos: relaciona parejas opuestas

\[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.\]

Úsala cuando conoces dos ángulos y un lado: puedes deducir el tercer ángulo y ya tienes una pareja lado–ángulo opuesto completa. Elige solamente los dos cocientes que necesitas. Si buscas a y conoces b, relaciona a con A y b con B. No tienes que usar los tres cocientes en cada ejercicio.

2. Ejemplo resuelto: un lado con dos ángulos

En ABC, \(A=30^\circ\), \(B=60^\circ\) y \(b=12\,\mathrm{cm}\). Se busca a. El tercer ángulo es 90°, aunque no hace falta usarlo en la proporción. La pareja conocida es b con B:

\[\begin{aligned}\frac a{\sin30^\circ}&=\frac{12}{\sin60^\circ}\\a&=12\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}\\&=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\,\mathrm{cm}.\end{aligned}\]

El denominador 2 de cada seno se cancela dentro del cociente. Para racionalizar \(\frac{12}{\sqrt3}\), multiplica numerador y denominador por \(\sqrt3\). El lado opuesto a 30° debe ser menor que el opuesto a 60°; \(4\sqrt3\approx6.93\) es menor que 12, así que la comparación es coherente.

3. Advertencia: el caso de dos lados y un ángulo opuesto

Si conoces a, b y A, la ley puede llevar a \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}\). Un mismo seno positivo puede corresponder a B y a \(180^\circ-B\). Después debes comprobar que A+B sea menor que 180°. Según los datos puede no existir triángulo, existir uno o existir dos. No aceptes automáticamente la única respuesta que muestra la función inversa de una calculadora.

Por ejemplo, si el cálculo da \(\sin B=\frac12\), las posibilidades iniciales son 30° y 150°. Con \(A=40^\circ\), 150° no sirve porque 40°+150° supera 180°. Esta comprobación geométrica evita una falsa solución.

4. Ley de cosenos: dos lados y el ángulo comprendido

\[\begin{aligned}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A,\\b^2&=a^2+c^2-2ac\cos B,\\c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C.\end{aligned}\]

En la última fórmula, C está entre a y b, y c está enfrente de C. Si C=90°, el coseno vale cero y queda Pitágoras. Si C es obtuso, su coseno es negativo: restar un producto negativo aumenta el valor de c². Conserva el signo menos de la fórmula antes de sustituir.

5. Ejemplo resuelto: lado opuesto al ángulo conocido

Sean \(a=4\,\mathrm{cm}\), \(b=7\,\mathrm{cm}\) y \(C=60^\circ\). Se busca c:

\[\begin{aligned}c^2&=4^2+7^2-2(4)(7)\cos60^\circ\\&=16+49-56\left(\frac12\right)=37,\\c&=\sqrt{37}\,\mathrm{cm}.\end{aligned}\]

La respuesta es \(\sqrt{37}\), no 37: el primer resultado corresponde a c². Se toma la raíz positiva porque c es una longitud. Además, cualquier tercer lado debe estar entre \(|7-4|=3\) y \(7+4=11\); \(\sqrt{37}\approx6.08\) cumple esa condición.

6. También puedes encontrar un ángulo

Si conoces los tres lados, despeja el coseno del ángulo opuesto al lado buscado. Por ejemplo, \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). Comprueba primero la desigualdad triangular y usa la inversa del coseno en el modo de unidades correcto. Como un ángulo interior está entre 0° y 180°, esta inversa da el ángulo geométrico adecuado.

Decisión rápida: dos ángulos y un lado → senos; dos lados y su ángulo comprendido → cosenos; tres lados y un ángulo por hallar → cosenos despejada. Antes de operar, señala en el dibujo qué lado es opuesto a cada ángulo.

Exploración con Desmos

Longitud c frente al ángulo C, con lados fijos a=4 y b=7. El eje horizontal mide C en grados; el vertical muestra c en centímetros. El punto señala C=60°.

Curso de Trigonometría