CLASE 1 · Leer cambios, no posiciones aisladas

Pendiente: cuánto cambia y cuando cambia x

Una recta se extiende indefinidamente en ambas direcciones. Dos puntos distintos determinan una única recta; el segmento que los une es solamente una parte de ella. Para estudiar su inclinación usaremos la pendiente m. No necesitas que un punto sea el origen, ni que uno sea «inicial» en un sentido obligatorio: sí necesitas mantener el mismo orden de los puntos en ambas restas.

1. Identifica coordenadas y desplazamientos

En un punto \((x,y)\), la primera coordenada mide posición horizontal y la segunda posición vertical. Para pasar de \(A=(x_1,y_1)\) a \(B=(x_2,y_2)\), los cambios son \(\Delta x=x_2-x_1\) y \(\Delta y=y_2-y_1\). Un cambio negativo indica desplazarse a la izquierda o hacia abajo; no significa que la distancia recorrida sea negativa.

\[\begin{aligned}m&=\frac{\Delta y}{\Delta x}\\&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\\x_2&\ne x_1.\end{aligned}\]

La pendiente es una razón de cambios. No es, en general, \(\frac yx\): ese cociente solo coincide con la pendiente cuando la recta pasa por el origen y x no vale cero. Por ejemplo, en \(y=2x+3\), al aumentar x una unidad, y aumenta dos, aunque la posición de un punto pueda tener otro cociente y/x.

2. Ejemplo resuelto con enteros negativos

Calcula la pendiente por \(A=(-3,2)\) y \(B=(1,-4)\). Primero identifica los cambios, sin omitir los paréntesis de la coordenada negativa:

\[\begin{aligned}\Delta x&=1-(-3)=4,\\\Delta y&=-4-2=-6,\\m&=\frac{-6}{4}=-\frac32.\end{aligned}\]

Al avanzar cuatro unidades a la derecha, bajas seis; equivalentemente, al avanzar dos, bajas tres. La pendiente es negativa porque la recta desciende al recorrerla de izquierda a derecha. La diferencia de alturas no es la pendiente completa: todavía debes dividir entre el cambio horizontal.

3. Cambiar el orden no cambia la pendiente

Si tomas primero B y luego A, obtienes \(\Delta x=-3-1=-4\) y \(\Delta y=2-(-4)=6\). Entonces \(\frac6{-4}=-\frac32\), el mismo resultado. El error ocurre cuando inviertes solo una de las dos restas: cambiarías el signo de una razón que debía conservarse.

4. Pendiente positiva, cero y no definida

Con m positiva la recta es creciente; con m negativa, decreciente. Si dos puntos distintos tienen la misma coordenada y, la recta es horizontal: el numerador es cero y el denominador no, de modo que \(m=0\). Esta pendiente está perfectamente definida.

Si los puntos distintos tienen la misma coordenada x, la recta es vertical. El denominador vale cero y la pendiente no está definida. No escribas m=0 ni m=∞. Por ejemplo, la recta por \((2,-1)\) y \((2,4)\) se escribe \(x=2\); no puede ponerse en forma y=mx+b con m real.

5. Ejemplo resuelto: una coordenada desconocida

Una recta tiene pendiente \(\frac23\) y contiene \(A=(-1,2)\) y \(B=(5,k)\). Plantea el cociente y luego despeja:

\[\begin{aligned}\frac{k-2}{5-(-1)}&=\frac23,\\k-2&=4,\\k&=6.\end{aligned}\]

Comprueba con los puntos completos: el cambio horizontal es 6 y el vertical es 4; \(\frac46=\frac23\). No confundas la altura k de un punto concreto con la ordenada al origen de la recta.

6. ¿Tres puntos pertenecen a una misma recta?

Puedes comparar pendientes cuando los denominadores no sean cero. Una alternativa que también funciona en casos verticales es comparar productos cruzados:

\[\begin{aligned}&(x_B-x_A)(y_C-y_A)\\&=(y_B-y_A)(x_C-x_A).\end{aligned}\]

La igualdad expresa que las dos direcciones son proporcionales. Debes partir de dos puntos distintos; si A=B, por sí solos no determinan una recta única. En los gráficos del curso, los puntos tienen letras y sus coordenadas aparecen debajo: usa esos datos exactos antes que medir píxeles.

Antes de responder: resta coordenadas correspondientes, conserva el orden, revisa si el denominador vale cero y simplifica la fracción. Mira la gráfica para comprobar el signo, no para sustituir el cálculo exacto.

Exploración con Desmos

Compara la gráfica interactiva con los datos y procedimientos de esta clase. La escala se expresa en las mismas unidades en ambos ejes.

Curso de la recta