CLASE 5 · La misma relación escrita de dos maneras

Convertir entre ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Una conversión conserva la información de una igualdad. No es todavía un método de cálculo independiente: reescribe la relación para que resulte más fácil interpretar la incógnita. Debes identificar la base, el argumento y el resultado antes de moverlos de lugar.

1. El esquema que siempre funciona

\[\log_b A=c\quad\Longleftrightarrow\quad b^c=A.\]

La base b se conserva. El resultado c pasa a ser exponente y el argumento A queda como resultado de la potencia. La operación es reversible si b>0, b≠1 y A>0.

2. Ejemplo resuelto de logaritmo a potencia

En log₄(\(\frac{1}{8}\))=−\(\frac{3}{2}\), la base es 4, el argumento \(\frac{1}{8}\) y el resultado −\(\frac{3}{2}\). La forma exponencial es:

\[4^{-\frac32}=\frac18.\]

Comprueba: √4=2, 2³=8 y el exponente negativo toma el recíproco. Colocar \(\frac{1}{8}\) como base o −\(\frac{3}{2}\) como argumento ya no sería la misma relación.

3. Ejemplo resuelto en sentido contrario

Si 9¹⁄₂=3, la forma logarítmica es log₉3=\(\frac{1}{2}\). Si 7⁰=1, es log₇1=0. Los exponentes fraccionarios, cero y negativos se convierten igual que los enteros positivos.

4. Cuando la incógnita está en el argumento

Si log₂A=2x−1 y x=3, primero calcula el resultado: 2(3)−1=5. Después A=2⁵=32. El argumento queda positivo automáticamente porque es una potencia de base positiva.

5. Cuando la incógnita es el resultado

Si log₃81=x, busca la potencia 3ˣ=81 y reconoce x=4. Si log₂x=−3, la incógnita ahora es el argumento: x=2⁻³=\(\frac{1}{8}\). Es el papel de la incógnita, no su nombre, lo que determina el paso siguiente.

6. La relación entre las gráficas

Las funciones y=2ˣ y y=log₂x son inversas. Sus pares ordenados se intercambian: el punto (0,1) de la exponencial corresponde al punto (1,0) del logaritmo. En general, si 2ᶜ=A, los puntos (c,A) y (A,c) pertenecen a las funciones respectivas. El dominio positivo del logaritmo coincide con las salidas positivas de la exponencial.

Azul: \(y=2^x\), con \(P=(0,1)\). Naranja: \(y=\log_2x\), con \(Q=(1,0)\).

Esta relación explica por qué la conversión es reversible. Para recuperar una entrada de la exponencial, usas el logaritmo; para recuperar un argumento desde el resultado del logaritmo, usas la potencia.

Verifica la conversión: lee la potencia en voz baja como «base elevada al resultado igual al argumento». Después comprueba que los tres elementos no hayan cambiado de papel.

Exploración con Desmos

Contrasta las funciones con la explicación. La gráfica complementa el cálculo exacto y no sustituye la revisión del dominio.

Logaritmos y ecuaciones exponenciales