La línea recta

Una línea recta en el plano cartesiano es el conjunto de puntos que cumplen una ecuación de primer grado. Se dibuja sobre unos ejes: el horizontal (eje x) y el vertical (eje y). Cada punto se escribe como un par \((x,\,y)\): primero cuánto te mueves a la derecha (o izquierda) y luego cuánto subes (o bajas).

1. La pendiente: qué tan inclinada está

La pendiente (\(m\)) dice cuánto sube la recta por cada unidad que avanza hacia la derecha. Con dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\):

\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\text{lo que sube}}{\text{lo que avanza}}\]

De A(0, −1) a B(2, 3) la recta avanza 2 y sube 4: \(m=\dfrac{4}{2}=2\).

Si la recta sube de izquierda a derecha, \(m>0\); si baja, \(m<0\); si es horizontal, \(m=0\). Cuanto mayor sea \(|m|\), más empinada.

2. La ordenada al origen

Es el valor \(b\) donde la recta corta al eje y (cuando \(x=0\)).

Esta recta corta al eje y en (0, 1): su ordenada al origen es \(b=1\).

3. La ecuación de la recta

Con la pendiente y la ordenada al origen, la ecuación queda así:

\[y=m\,x+b\]

Para la recta que pasa por A(0, −1) y B(2, 3): \(m=2\) y \(b=-1\), entonces \(y=2x-1\).

4. Cómo graficar una recta

Con una tabla: da valores a \(x\), calcula \(y\) y marca los puntos. Para \(y=2x-1\): si \(x=0\), \(y=-1\); si \(x=1\), \(y=1\); si \(x=2\), \(y=3\). Con \(m\) y \(b\): marca \((0,b)\) y desde ahí avanza y sube según la pendiente.

5. Intersecciones y rectas paralelas

Para hallar dónde corta al eje x, haz \(y=0\) y despeja: en \(y=2x-4\), \(0=2x-4\) → \(x=2\); la recta pasa por \((2,0)\). Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta ordenada: \(y=2x+1\) y \(y=2x-2\).

Errores comunes

• Calcular la pendiente como \(\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\) (al revés). • Restar en un orden en el numerador y en otro en el denominador. • Confundir \((x,y)\) con \((y,x)\) al ubicar un punto. • Olvidar el signo de \(b\) en la ecuación.

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