CLASE 6 · Dos ramas y una resta

Hipérbola: término positivo, vértices y asíntotas

Una hipérbola tiene dos ramas abiertas. La diferencia absoluta de las distancias desde un punto de la curva a sus dos focos es constante e igual a 2a. Tiene centro, vértices y dos asíntotas que describen la dirección de las ramas lejos del centro. Una asíntota es una recta de referencia, no una rama adicional.

1. Las formas estándar

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]

Esta forma abre a izquierda y derecha. Si el término positivo es el de y, la abertura es arriba y abajo. Aquí a² es el denominador del término positivo, aunque sea menor que b². No transfieras la regla del denominador mayor de la elipse a la hipérbola.

2. Ejemplo resuelto

Estudia \(\frac{(x+1)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\). El centro es C=(−1,1), a=3 y b=2. Como el término positivo contiene x, el eje transverso es horizontal. Los vértices son A=(−4,1) y B=(2,1).

\[\begin{aligned}c^2&=a^2+b^2=13,\\F_1&=(-1-\sqrt{13},1),\\F_2&=(-1+\sqrt{13},1).\end{aligned}\]

Los focos están más lejos del centro que los vértices porque c>a. Esta es una diferencia importante con la elipse.

\(C=(-1,1)\) · \(A=(-4,1)\) · \(B=(2,1)\)

3. Asíntotas para comprobar la dirección

Para la forma horizontal, las asíntotas son \(y-k=\pm\frac ba(x-h)\). En el ejemplo son \(y-1=\pm\frac23(x+1)\). Para la forma vertical son \(y-k=\pm\frac ab(x-h)\). Ambas pasan por el centro, pero el centro no pertenece a la hipérbola.

4. Normalizar puede cambiar el signo visible

Si tienes −4x²+9y²=36, al dividir entre 36 queda \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\): abre verticalmente, con a=2 y b=3. Si el miembro derecho fuera negativo, primero dividir entre ese número cambia los signos. Decide la orientación después de dejar 1 a la derecha, no antes.

5. Comprobación por sustitución

Al sustituir un vértice, el término positivo vale 1 y el negativo cero. En el ejemplo, x=2 y y=1 producen 9/9−0=1. Si pruebas el centro, obtienes 0=1, que es imposible. Eso confirma que no debes dibujarlo como si fuera un punto de la curva aunque sí se marque como referencia.

Una ecuación como x²−y²=0 representa dos rectas, no una hipérbola no degenerada. El miembro derecho y la normalización importan tanto como el signo de los términos cuadrados.

Recuerda: término positivo → orientación; raíz del denominador positivo → a; focos → suma a²+b². Distingue puntos de la curva de elementos auxiliares.

Explora la gráfica en Desmos

Contrasta la ecuación y los puntos descritos en esta clase. Puedes acercar y alejar la vista; la ventana inicial usa unidades iguales en ambos ejes.

Cónicas y gráficas de funciones